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第四篇 复变函数与积分变换1

第一章 复数与复变函数1

1.1 复数1

1.2 区域6

1.3 复变函数7

习题19

第二章 解析函数11

2.1 解析函数的概念11

2.2 柯西—黎曼方程12

2.3 解析函数和调和函数的关系14

2.4 初等函数15

习题218

第三章 复变函数的积分20

3.1 复积分的概念20

3.2 柯西积分定理22

3.3 原函数24

3.4 柯西积分公式25

3.5 解析函数的高阶导数26

习题327

第四章 解析函数的级数表示29

4.1 复数项级数29

4.2 复变函数项级数30

4.3 泰勒级数33

4.4 罗朗级数36

习题439

第五章 留数及其应用40

5.1 零点与孤立奇点40

5.2 留数43

5.3 利用留数计算定积分47

5.4 辐角原理及其应用50

习题553

6.1 保角映射的概念55

第六章 保角映射55

6.2 保角映射的基本问题56

6.3 分式线性映射57

6.4 几个初等函数所构成的映射62

6.5 多角形映照公式65

习题667

第七章 解析函数在平面场的应用68

7.1 复势的概念68

7.2 复势的应用71

7.3 用保角映射的方法研究平面场74

习题775

8.1 傅里叶变换77

第八章 积分变换77

8.2 拉普拉斯变换89

习题899

附录Ⅰ 傅氏变换简表103

附录Ⅱ 拉氏变换简表107

第五篇 数学物理方程与特殊函数110

第一章 典型方程与定解条件110

1.1 弦振动方程与定解条件110

1.2 热传导方程与定解条件113

1.4 基本概念与定解问题116

1.3 拉普拉斯方程与定解条件116

习题1118

第二章 分离变量法120

2.1 有界弦的自由振动120

2.2 有限长杆的热传导问题124

2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题127

2.4 非齐次方程的求解问题131

2.5 具有非齐次边界条件的问题137

习题2141

第三章 行波法与积分变换法144

3.1 达朗贝尔(D'Alembert)公式 波的传播144

3.2 高维波动方程的初值问题148

3.3 积分变换法151

习题3155

第四章 格林函数法157

4.1 格林公式及其应用157

4.2 格林函数161

4.3 格林函数的应用163

4.4 试探法 泊松方程求解167

习题4169

第五章 贝塞尔函数171

5.1 贝塞尔方程及贝塞尔函数171

5.2 贝塞尔函数的递推公式175

5.3 按贝塞尔函数展开为级数177

5.4 贝塞尔函数的应用179

习题5181

第六章 勒让德多项式186

6.1 勒让德方程及其求解186

6.2 勒让德多项式188

6.3 勒让德多项式的母函数及递推公式191

6.4 函数按勒让德多项式展为级数法192

习题6197

习题解答198