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目录1

序1

前言1

第1章 函数、极限与连续1

1.1　函数1

1.1.1　函数的概念2

1.1.2　函数的几种简单性态3

1.1.3　反函数4

1.1.4　初等函数5

1.1.5　建立函数关系举例6

习题1-18

1.2　极限9

1.2.1　数列的极限9

1.2.2　函数的极限11

1.2.3　无穷小与无穷大14

习题1-216

1.3　极限运算17

1.3.1　极限的四则运算17

1.3.2　两个重要极限19

1.3.3　无穷小的比较22

习题1-323

1.4　函数的连续性25

1.4.1　函数连续性概念25

1.4.2　函数的间断点27

1.4.3　闭区间上连续函数的性质29

1.4.4　二分法31

习题1-432

第2章 导数与微分34

2.1　导数的概念34

2.1.1　导数的定义34

2.1.2　可导与连续的关系38

2.1.3　导数的实际意义39

习题2-140

2.2　导数的运算41

2.2.1 函数的四则运算的求导法则42

2.2.2　复合函数的求导法则44

2.2.3　隐函数求导法45

2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法49

习题2-250

2.3 高阶导数52

习题2-353

2.4　微分的概念53

2.4.1　微分的定义53

2.4.2　微分的运算法则56

2.4.3　微分在近似计算中的应用57

2.4.4　弧的微分59

习题2-461

2.5　曲线的曲率62

2.5.1　曲率的概念62

2.5.2　曲率的计算公式64

2.5.3　曲率圆和曲率半径66

习题2-567

第3章 导数的应用68

3.1　微分中值定理68

3.1.1　罗尔定理68

3.1.2　拉格朗日中值定理69

3.1.3　泰勒公式70

习题3-173

3.2　函数的单调性与极值73

3.2.1 函数单调性的判别法73

3.2.2　极值75

3.2.3　函数的最大值和最小值78

习题3-281

3.3 曲线的凹凸和拐点82

3.3.1 曲线的凹凸82

3.3.2　曲线的拐点83

习题3-385

3.4　方程根的近似求法85

习题3-488

第4章 定积分与不定积分89

4.1　定积分的概念89

4.1.1　定积分的定义89

4.1.2　定积分的几何意义与性质94

习题4-198

4.2　微积分基本定理98

4.2.1 原函数与不定积分的概念99

4.2.2　牛顿—莱布尼兹公式102

4.3.1　不定积分的性质106

4.3　不定积分的性质与基本积分公式106

习题4-2106

4.3.2　基本积分公式107

习题4-3109

4.4　基本积分法109

4.4.1　换元积分法110

4.4.2　分部积分法117

习题4-4121

4.5　定积分的近似计算122

4.5.1　矩形法122

4.5.2　梯形法123

4.5.3　抛物线法124

习题4-5125

第5章　定积分的应用127

5.1　定积分的微元法127

5.2.1 直角坐标系下平面图形的面积128

5.2　平面图形的面积128

5.2.2　极坐标系下平面图形的面积131

习题5-2132

5.3　体积132

5.3.1　平行截面面积为已知的立体体积132

5.3.2　旋转体的体积133

习题5-3135

5.4　平面曲线的弧长136

习题5-4137

5.5　定积分在物理方面的应用137

5.5.1　变力沿直线所作的功137

5.5.2　液体的静压力139

5.5.3　平均值和均方根140

习题5-5142

6.1　常微分方程的概念144

第6章 常微分方程144

习题6-1147

6.2　一阶微分方程147

6.2.1　可分离变量的微分方程147

6.2.2　齐次微分方程149

6.2.3　一阶线性微分方程150

习题6-2153

6.3　二阶常系数线性微分方程154

6.3.1　二阶常系数线性微分方程的解的结构156

6.3.2　二阶常系数线性齐次微分方程的解法157

6.3.3　二阶常系数线性非齐次微分方程的解法160

习题6-3164

6.4　微分方程应用举例165

6.4.1　一阶微分方程应用举例165

6.4.2　二阶微分方程应用举例168

习题6-4170

7.1 空间直角坐标系171

第7章 向量代数与空间解析几何171

习题7-1172

7.2 向量173

7.2.1 向量的概念173

7.2.2　向量的线性运算173

7.2.3 向量的坐标表达式175

习题7-2179

7.3　两向量的数量积与向量积179

7.3.1　两向量的数量积179

7.3.2　两向量的向量积182

习题7-3186

7.4　平面和空间直线186

7.4.1　平面及其方程186

7.4.2　空间直线及其方程189

习题7-4191

7.5.1　曲面及其方程192

7.5 曲面和空间曲线192

7.5.2　空间曲线及其方程196

7.5.3　二次曲面198

习题7-5202

第8章　多元函数微分学203

8.1　多元函数的概念203

习题8-1206

8.2　偏导数206

8.2.1　偏导数的概念206

8.2.2　高阶偏导数210

习题8-2212

8.3　全微分的概念213

习题8-3216

8.4　多元函数求导法则216

8.4.1　多元复合函数求导法则216

8.4.2　隐函数求导法则220

习题8-4221

8.5　偏导数的几何应用222

8.5.1　空间曲线的切线与法平面222

8.5.2　曲面的切平面与法线224

习题8-5226

8.6　多元函数的极值227

8.6.1　多元函数极值的概念227

8.6.2　多元函数极值的判别法228

8.6.3　条件极值229

习题8-6231

第9章　多元函数积分学232

9.1 二重积分232

9.1.1　二重积分的概念和性质232

9.1.2　二重积分的计算236

9.1.3　二重积分的应用247

习题9-1255

9.2 曲线积分258

9.2.1 对坐标的曲线积分258

9.2.2　对坐标的曲线积分的计算260

9.2.3　格林公式263

9.2.4　平面上的曲线积分与路径无关的条件267

习题9-2270

第10章　矩阵及其应用273

10.1　矩阵273

10.1.1　矩阵的概念273

10.1.2　矩阵的线性运算276

10.1.3　矩阵的乘法运算279

10.1.4　矩阵的转置运算283

习题10-1285

10.2　行列式286

10.2.1 二阶和三阶行列式286

10.2.2　n阶行列式289

10.2.3　行列式的性质292

习题10-2298

10.3　逆矩阵及其求法300

10.3.1　线性方程组的矩阵表示300

10.3.2　逆矩阵的概念302

10.3.3　逆矩阵的存在性及其求法303

10.3.4　逆矩阵的性质305

习题10-3306

10.4　矩阵的秩与初等变换306

10.4.1　矩阵的秩及其求法306

10.4.2　利用初等变换求矩阵的秩308

习题10-4311

10.5　线性方程组312

10.5.1 克莱姆法则312

10.5.2　用逆矩阵解线性方程组317

10.5.3　用消元法解线性方程组319

习题10-5329

第11章　概率与统计331

11.1　随机事件与概率331

11.1.1　随机事件332

11.1.2　事件的频率和概率336

11.1.3　概率的基本性质340

11.1.4　加法定理340

11.1.5　条件概率、全概率公式341

11.1.6　独立性344

习题11-1346

11.2　随机变量及其数字特征347

11.2.1　随机变量与分布函数348

11.2.2　离散型随机变量的分布350

11.2.3　连续型随机变量的分布355

11.2.4　随机变量的数学期望与方差361

习题11-2367

11.3　常用数理统计方法368

11.3.1　数据处理方法369

11.3.2　一元线性回归372

11.3.3　正交试验设计374

习题11-3382

第12章 级数385

12.1　数项级数385

12.1.1　数项级数的概念385

12.1.2　级数收敛的必要条件388

12.1.3　正项级数及其审敛法390

12.1.4　交错级数及其审敛法392

12.1.5　绝对收敛与条件收敛394

习题12-1397

12.2　幂级数399

12.2.1　函数项级数的概念399

12.2.2　幂级数及其收敛半径401

12.2.3　幂级数的运算及和函数404

12.2.4　泰勒级数406

12.2.5　函数展开成幂级数409

12.2.6　幂级数的应用举例412

习题12-2416

12.3　傅立叶级数417

12.3.1　三角函数系及其正交性418

12.3.2　周期为2π的周期函数展开成傅立叶级数420

12.3.3　定义在有限区间上的函数展开成傅立叶级数425

12.3.4　周期为2l的周期函数展开成傅立叶级数428

12.3.5　傅立叶级数的指数形式430

12.3.6　傅立叶级数的应用举例432

习题12-3434

附录A　泊松分布表436

附录B　标准正态分布的分布函数表437