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第一章　行列式1

1　行列式的概念1

一、排列和逆序数1

二、二阶与三阶行列式2

三、n阶行列式3

2　行列式的性质4

一、排列的对换4

二、行列式的性质6

3　克莱姆法则10

4　行列式的展开定理12

5 拉普拉斯定理与行列式的乘法16

一、拉普拉斯定理16

二、行列式的乘法17

习题一18

阅读材料1：连加号“∑”与连乘号“П”19

第二章　n维向量21

1　n维向量的定义和运算21

一、n维向量的定义21

二、向量的加法22

三、向量的数量乘法22

2　向量的线性相关性23

一、线性相关性23

二、极大线性无关组和秩29

3 向量的内积32

一、内积及其性质32

二、长度、距离和夹角33

三、正交向量组34

习题二36

阅读材料2：数域和数环37

第三章　矩阵39

1　矩阵的基本概念39

2　矩阵的基本运算41

一、矩阵的加法41

二、数与矩阵相乘41

三、矩阵与矩阵相乘42

四、矩阵的转置43

五、关于方阵的两个问题45

3　逆矩阵47

一、逆矩阵的定义及性质47

二、方阵A可逆的充要条件48

4　矩阵的初等变换与初等矩阵50

一、矩阵的初等变换50

二、初等矩阵54

三、用初等变换求逆阵56

5　矩阵的秩57

6　分块矩阵62

一、分块矩阵的概念62

二、分块矩阵的运算62

习题三67

阅读材料3：分块矩阵的初等变换及其应用70

第四章　线性方程组72

1　线性方程组的基本概念72

一、线性方程组的三种表示形式72

二、解与解集73

三、有解判别条件73

2　齐次线性方程组74

3　非齐次线性方程组78

习题四80

阅读材料4：无解线性方程组的最小二乘解82

第五章　方阵的特征值和特征向量85

1　方阵特征值和特征向量的定义与求法85

一、定义和基本性质85

二、特征值和特征向量的求法87

2　方阵的相似关系和对角化问题90

一、相似关系的定义与性质90

二、相似对角化及其应用90

3 对称矩阵的正交对角化92

一、正交矩阵92

二、对称矩阵的正交对角化93

习题五96

阅读材料5：若当（Jordan）标准形介绍98

第六章　二次型101

1　二次型及其矩阵表示101

2　标准形及其求法104

一、配方法104

二、合同变换法（初等变换法）105

三、正交变换法109

3　正定二次型和正定矩阵111

习题六113

阅读材料6：正定二次型及其他114

第七章 线性空间与线性变换116

1　线性空间的基本概念116

一、线性空间的定义和基本性质116

二、子空间及其充要条件118

2　基与坐标119

一、基与维数119

二、坐标120

三、同构121

3　基变换与坐标变换122

一、过渡矩阵122

二、坐标变换公式123

4　线性变换125

一、线性变换的定义与例子125

二、线性变换的基本性质127

5　线性变换的矩阵128

一、线性变换矩阵的定义与例子128

二、同一线性变换关于不同基的矩阵131

三、线性变换的秩和零度131

习题七132

阅读材料7：集合与映射134

习题参考答案136

主要参考文献145